Tìm tòi học toán – Bài số 1

Trong đề thi Toán Học Trẻ Quốc Tế IMC có bài toán như sau (ChuTieuThichHocToan đã thay số cho phù hợp về mặt tính toán với các cháu học sinh tiểu học)

Bài 1: Ba bạn Long, Nghĩa và An chơi bốc 1 số viên bi trong hộp. Các bạn bốc như sau: Long bốc 1 viên, Nghĩa bốc 2 viên rồi Long bốc 3 viên, An bốc 4 viên. Sau đó Long bốc 5 viên, Nghĩa bốc 6 viên, Long bốc 7 viên, An bốc 8 viên. Cứ như vậy cho đến khi hết bi. Nếu đến lượt ai bốc mà số bi còn lại trong hộp không đủ để bốc thì người đó bốc tất số bi còn lại. Sau khi chơi xong, Long thấy mình bốc được 250 viên. Hỏi lúc đầu trong hộp có bao nhiêu viên?

Phát triển bài toán: Con số 250 có ý nghĩa gì? Có thể thay 250 bởi 225 được hay không? Tại sao?

Phân tích:

Khi đọc đề bài, ta cần chú ý đến thứ tự bốc của từng bạn. Nhận thấy Long à Nghĩa à Long à An. Như vậy mỗi lượt bốc gồm 4 bước, trong đó Long bốc 2 số lẻ liên tiếp, còn Nghĩa và An bốc 2 số chẵn liên tiếp, tạo thành 4 số liên tiếp. Cần chú ý hay “cảm giác” có điều đặt biệt với Long, vì Long có sự khác biệt là được bốc 2 lần trong mỗi 4 lượt bốc.

Cứ như vậy, câu hỏi đặt ra là, ai sẽ là người bốc cuối cùng? Đề bài lại cho Long bốc tất cả 250 viên è ta cần xoáy vào dữ kiện này.

Nếu Long không phải là người bốc cuối cùng, hoặc Long bốc cuối nhưng vẫn đủ số bi để bốc => số viên bi Long bốc phải là 1 + 3 + 5 +….là tổng các số liên tiếp.

Nhận thấy 1 + 3 + 5 + …+ 29 = (29+1)x15:2 = 225 viên.

còn 1+ 3+ 5 +…+ 31 = 256 viên

Vì 225 < 250 < 256 nên tả thấy giả sử Long không bốc cuối cùng hoặc bốc cuối cùng nhưng đủ bi để bốc là không đúng => Long bốc cuối và lần bốc cuối của Long là bị thiếu bi. Đến đây ta tính số viên bi thiếu mà Long đã bốc, và lần bốc đủ ngay trước đó của Long…

Giải:

Giả sử Long không là người bốc cuối cùng, hoặc Long bốc cuối cùng nhưng đủ bị để bốc

=> Số viên bi Long bốc là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1.

Ta có: 1 + 3 + 5 + …+ 29 = (29+1)x15:2 = 225

và 1+ 3+ 5 +…+ 31 = (31+1)x16:2 = 256

Vì 225 < 250 < 256 nên giả sử trên không thể xảy ra.

Vậy Long phải là người bốc cuối cùng và lần cuối cùng Long bốc thiếu bi.

Số bi Long bốc lần cuối cùng là: 250 – 225 = 25 viên

Từ trên ta cũng suy ra số bi Long bốc gần cuối là: 29 viên => Sau đó có 1 bạn (có thể là Nghĩa hoặc An – không quan trọng bạn nào) bốc là: 30 viên, sau đó Long bốc cuối cùng 25 viên.

Tổng số viên bi trong hộp là:

1 + 2 + 3 + 4 + …+ 29 + 30 + 25 = (30+1)x30:2 + 25 = 490 viên.

Mở rộng:

1. Ta thấy nếu bài toán cho Long bốc được 225 viên, ta chỉ biết được lần cuối cùng Long bốc là 29 viên, còn ta không biết được bạn tiếp theo Long sẽ bốc được bao nhiêu viên (vì có thể bốc thiếu), vì thế, bài toán sẽ không giải được.

Con số 250 thỏa mãn điều kiện 225 < 250 < 256. Có thể thay 250 bởi số khác ví dụ 200 vì 200 thỏa mãn:

1 + 3 + 5 +…+ 27 < 200 < 1+3+…+29

2. Bài toán có thể hỏi thêm là bạn nào bốc cuối cùng, lần cuối cùng bốc bao nhiêu viên, bạn nào bốc lần gần cuối và bốc bao nhiêu viên? …

Leave a comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: