Chuyên đề thi chuyên cấp 2 AMS: Số chẵn, lẻ, chữ số tận cùng

ChuTieuThichHocToan sưu tầm và chỉnh sửa, thêm bớt một số bài toán về dạng xét tính chẵn lẻ, chữ số tận cùng.

Đây là dạng toán khá dễ, tuy nhiên cần phải có sự làm quen để “nhận dạng” những bài toán dạng này. Lời giải các bài dạng này thường rất ngắn, nhưng con đường đi đến lời giải thì đôi khi không ngắn. Các cháu cần chú ý các đặc điểm nhận dạng mà chú tiểu đưa ra trong các phân tích dưới đây nhé.

Đây là dạng toán khá hay gặp trong kỳ thi vào chuyên cấp 2 AMS.

 * Kiến thức cần nhớ :

– Chữ số tận cùng của 1 tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ  số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy.

– Chữ số tận cùng của 1 tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy.

– Tích các số tận cùng là 6 có tận cùng là 6

– Tích các số tận cùng là 1 có tận cùng là 1

– Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + …… + 9 có chữ số tận cùng bằng 5.

– Tích  1 x 3 x 5 x 7 x 9 có chữ số tận cùng bằng 5.

– Tích a x a không thể có tận cùng bằng 2, 3, 7 hoặc 8. (Việc chứng minh điều này các cháu chỉ cần thử hết các trường hợp tận cùng của a là được)

* Bài tập vận dụng :

Bài 1:

a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể là 1 số lẻ được không?

b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể là 1 số lẻ được không?

c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ được không?

Phân tích:

Với dạng này, đọc đề xong, các cháu thấy ngay liên quan đến tính chẵn lẻ. Chú ý phân tích các khả năng có thể về chẵn lẻ của các số.

Giải :

a) Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được).

b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ được).

c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta được 2 lần số lớn, tức là được 1 số chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không thể 1 số là chẵn, số kia là lẻ được).

Bài toán 2 : Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng hay sai?

a, 1783 + 9789 + 375 + 8001 + 2797 = 22744

b, 1872 + 786 + 3748 + 3718 = 10115.

c, 5674  x 163 = 610783

Phân tích:

Với dạng này, các cháu để ý, để bài không yêu cầu tính, thường kết quả sẽ là sai, chúng ta chú ý tính chẵn lẻ của hai vế, hai vế muốn bằng nhau thì phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ…Nâng cao hơn chút thì có thể xét tính chia hết cho 3, 4 hoặc 5 của cả hai vế.

Giải :

a, Kết quả trên là sai vì tổng của 5 số lẻ là 1 số lẻ.

b, Kết quả trên là sai vì tổng của các số chẵn là 1 số chẵn.

c, Kết quả trên là sai vì tích của 1số chẵn với bất kỳ 1 số nào cũng là một số chẵn.

Bài 3 : Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 24 024

Phân tích:

Bài này chú ý đến chi tiết 4 số tự nhiên liên tiếp, chúng ta nhớ rằng cứ 5 số liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 5 tức là tận cùng bằng 0 hoặc 5. Sau đó ta sẽ loại trường hợp có 1 số tận cùng là 0 hoặc 5, từ đó các số chỉ có thể tận cùng là 1,2,3,4 hoặc 6,7,8,9….

Giải :

Ta thấy trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì không có thừa số nào có chữ số tận cùng là 0; 5 vì như thế tích sẽ tận cùng là chữ số 0 (trái với bài toán)

Do đó 4 số phải tìm chỉ có thể có chữ số tận cùng liên tiếp là 1, 2, 3, 4 và 6, 7, 8, 9

Ta có :

24 024 > 10 000  = 10 x10 x10 x 10

24 024 < 160 000 = 20 x 20 x 20 x 20

Nên tích của 4 số đó là :

11 x 12 x 13 x 14 hoặc

16 x 17 x 18 x 19

Có  : 11 x  12 x 13 x 14 = 24 024

16 x 17 x 18 x 19 = 93 024.

Vậy 4 số phải tìm là : 11, 12, 13, 14.

Bài 4 : Có thể tìm được 2 số tự nhiên sao cho hiệu của chúng nhân với 18 được 1989 không?

Giải :

Ta thấy số nào nhân với số chẵn tích cũng là 1 số chẵn. 18 là số chẵn mà 1989 là số lẻ.

Vì vậy không thể tìm được 2 số tự nhiên mà hiệu của chúng nhân với 18 được 1989.

Bài 5 : Có thể tìm được 1 số tự nhiên nào đó nhân với chính nó rồi trừ đi 2 hay 3 hay 7, 8 lại được 1 số tròn chục hay không.

Giải :

Số trừ đi 2,3 hay 7,8 là số tròn chục thì phải có chữ số tận cùng là 2,3 hay 7 hoặc 8.

Mà các số tự nhiên nhân với chính nó có các chữ số tận cùng là 0 ,1, 4, 5, 6, 9.

Vì   :   1 x 1 = 1                 4 x 4 = 16                            7 x 7  = 49

2 x 2 = 4                5 x 5 =  25                           8 x 8 =  64

3 x3 = 9                 6 x 6 = 36                             9 x 9 = 81

10 x 10 = 100

Do vậy không thể tìm được số tự nhiên như thế .

Bài 6: Cósố tự nhiên nào nhân với chính nó được kết quả là một số viết bởi 6 chữ số 1 không?

Phân tích:

Với bài này, ta thấy 6 chữ số 1 có nghĩa là tổng các chữ số là 6, chia hết cho 3 nên số cần tìm sẽ chia hết cho 3, mà hai số chia hết cho 3 nhân với nhau sẽ được số chia hết cho 9….

Giải :

Gọi số phải tìm là A      (A > 0 )

Ta có :                  A x A = 111 111

Vì 1 + 1 +1  + 1+ 1+ 1+ = 6  chia hết cho 3 nên 111 111 chia hết cho 3.

Do vậy A chia hết cho 3, mà A chia hết cho 3 nên A x A chia hết cho 9 nhưng 111 111 không chia hết cho 9.

Vậy không có số nào như thế .

Nhận xét:

– Có thể thay số 6 bởi 1 số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, ví dụ 12, 15,….

– Cũng có thể thay số 1 bởi 1 số khác sao cho tổng các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, ví dụ số có 6 chữ số 2, 6 chữ số 4…

Hãy luôn “xoay” bài toán để được những bài toán mới và lời giải “xoáy” hơn…hihi

Bài 7:

a) Số 1990 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp được không?

Phân tích:

Con số 1990 chỉ có ý nghĩa “thời sự”. Các cháu hãy chú ý đến 3 số tự nhiên liên tiếp. Thử 3 số liên tiếp 1,2,3 các cháu cũng thấy ngay tích của chúng luôn chia hết cho 3…mà 1990 lại không chia hết cho 3…

Giải :

Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 vì trong 3 số đó luôn có 1 số chia hết cho 3 nên 1990 không là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vì :

1 + 9 + 9 + 0 = 19     không chia hết cho 3.

b, Số 1995 có thể là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

3 số tự nhiên liên tiếp thì bao giờ cũng có 1 số chẵn vì vậy mà tích của chúng là 1 số chẵn mà 1995 là 1 số lẻ do vậy không phải là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

c, Số 1993 có phải là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp không?

Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp thì sẽ bằng 3 lần số ở giữa do đó số này phải chia hết cho 3.

Mà 1993 = 1 + 9 + 9 + 3 = 22  Không chia hết cho 3

Nên số 1993 không là tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Bài 8 : Tính 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ………… x 48 x 49 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

Phân tích:

Các cháu để ý cứ 2×5 thì sẽ cho ta 1 chữ số 0. Vì thế ta chỉ cần xem có bao nhiêu nhân tử 2 và 5 trong dãy trên. Hơn nữa cứ 2 số liên tiếp có 1 thừa số 2, trong khi phải 5 số liên tiếp mới có 1 số 5. Từ đó ta thấy chỉ cần tìm các thừa số 5 là được.

Các cháu chú ý, những số 25 = 5×5, 125 = 5x5x5….Những số này cho ta nhiều thừa số 5 hơn.

Giải :

Trong tích đó có các thừa số chia hết cho 5 là :

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45.

Hay 5 = 1 x 5 ; 10 = 2 x 5 ; 15 = 3 x 5; ……..; 45 = 9 x 5 => Có 9 số chia hết cho 5.

Số 25 =5×5 có 2 thừa số 5, vì thế cho ta thêm 1 thừa số 5 nữa => có tất cả 10 thừa số 5.

Mỗi thừa số 5 nhân với 1 số chẵn cho ta 1 số tròn chục. mà tích trên có 10 thừa số 5 nên tích tận cùng bằng 10 chữ số 0.

Bài 9 : Bạn Toàn tính tổng các chẵn trong phạm vi từ 20 đến 98 được 2025. Không thực hiện tính tổng em cho biết Toàn tính đúng hay sai?

Giải :

Tổng các số chẵn là 1 số chẵn, kết quả toàn tính được 2025 là số lẻ do vậy toàn đã tính sai.

Bài 10 : Tùng tính tổng của các số lẻ từ 21 đến 99 được 2025. Không tính tổng đó em cho biết Tùng tính đúng hay sai?

Giải :

Từ 1 đến 99 có 50 số lẻ

Mà từ 1 đến 19 có 10 số lẻ. Do vậy Tùng tính tổng của số lượng các số lẻ là :  50 – 10 = 40 (số)

Ta đã biết tổng của số lượng chẵn các số lẻ là 1 số chẵn mà 2025 là số lẻ nên Tùng đã tính sai.

Bài 11 : Tích sau tận cùng bằng mấy chữ số 0?

20 x 21 x 22 x 23 x .  .  . x 28 x 29

Giải :

Tích trên có 1 số tròn chục là 20 nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0

Ta lại có 25 = 5 x 5 nên 2 thữa số 5 này khi nhân với 2 só chẵn cho tích tận cùng bằng 2 chữ số 0

Vậy tích trên tận cùng bằng 3 chữ số 0.

Bài 12 : Tiến làm phép chia 1935 : 9 được thương là 216 và kghông còn dư. Không thực hiện cho biết Tiến làm đúng hay sai.

Giải :

Vì 1935 và 9 đều là số lẻ, thương giữa 2 số lẻ là 1 số lẻ. Thương Tiến tìm được là 216 là 1 số chẵn nên sai

Bài 13 : Huệ tính tích :

          2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 x 37 = 3 999

Không tính tích em cho biết Huệ tính đúng hay sai?

Giải :

Trong tích trên có 1 thữa số là 5 và 1 thừa số chẵn nên tích phải tận cùng bằng chữ số 0. Vì vậy Huệ đã tính sai.

Bài 14 : Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 :

13 x 14 x 15 x .  .  . x 22

Giải :

Trong tích trên có thừa số 20 là số tròn chục nên tích tận cùng bằng 1 chữ số 0. Thừa số 15 khi nhân với 1 số chẵn cho 1 chữ số 0 nữa ở tích.

Vậy tích trên có 2 chữ số 0.

Bài 15: (Thi AMS năm nào đó, chú quên rồi:) )

Tích 6 số lẻ liên tiếp tận cùng là mấy?

Giải:

Sáu số lẻ liên tiếp bao giờ cũng có chứa số 5 => tận cùng là 5.

Mở rộng: Tích 6 số chẵn liên tiếp thì sao?=> Tận cùng là 0.

 * BÀI TẬP VỀ NHÀ :

Bài 1/ Không làm phép tính hãy cho biết kết quả của mỗi phép tính sau có tận cùng bằng chữ số nào?

a, (1 999 + 2 378 + 4 545 + 7 956) – (315 + 598 + 736 + 89)

b, 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x .  .  . x 99

c, 6 x 16 x 116  x 216 x 11 996

d, 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91

e, 56 x 66 x 76 x 86 – 51 x 61 x 71 x 81

f) 12 x 22 x  32 x …. x2012 ( (Gợi ý, ghép nhóm các số để được tận cùng là 6, các số tận cùng là 6 nhân với nhau sẽ tận cùng là 6)

g) 13 x23 x 33 x…..x2013 ( (Gợi ý, ghép nhóm các số để được tận cùng là 1, các số tận cùng là 6 nhân với nhau sẽ tận cùng là 1)

Bài 2/ Tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0

a, 1 x 2 x 3 x .  .  . x 99 x 100

b, 85 x 86 x 87 x .  .  . x 94

c, 11 x 12 x 13 x .  .  . x 62

Bài 3/ Không làm tính xét xem kết quả sau đúng hay sai? Giải thích tại sao?

a, 136 x 136 –  41 = 1960

b, ab x ab – 8557 = 0  (có gạch trên ab nhé)

Bài 4/ Có số nào chia cho 15 dư 8 và chia cho 18 dư 9 hay không?

Bài 5/ Cho số a = 1234567891011121314. . . được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp. Số a có tận cùng là chữ số nào? biết số a có 100 chữ số.

Bài 6/ Có thể tìm được số tự nhiên A và B sao cho :

(A + B) x (A – B) = 2002.

Cháu nào không giải hết được các bài về nhà thì comment hoặc alo chú giải đáp nhé.

Chúc các cháu học tốt. Hãy quyết tâm thi vào AMS, không bao giờ bỏ cuộc. Hãy cố gắng hết mình!

Leave a comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: