Chuyên đề các bài toán suy luận Logic thi chuyên cấp 2 AMS

CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN LOGIC THI VÀO CHUYÊN AMS

ChuTieuThichHocToan: Thời gian này, các cháu học sinh lớp 5 đang luyện thi vào AMS, giai đoạn khốc liệt và quyết định. Thấy các cháu có vẻ yếu phần toán suy luận Logic nên ChuTieu có sưu tầm 1 số bài thi trong các năm trước để giải và phân tích, phát triển bài toán. Hi vọng rằng qua lời giải, cách phân tích và phát triển, mở rộng, cũng như bài trình bày lời giải mẫu, sẽ giúp các cháu nắm vững và tự tin hơn khi gặp dạng toán này.

Chuyên đề này là sự tiếp nối của chuyên đề Nguyên lý Dirichle. Thời gian tới, chú sẽ soạn tiếp các chuyên đề dưới đây, mong rằng chú tiểu sẽ nhận được sự quan tâm của các cháu. Đó chính là món quà vô giá cho sự tâm huyết và niềm đam mê của ChuTieu. Các cháu cố gắng lên. Nhất định các cháu sẽ làm được!!!

–         Chuyên đề Dirichle (OK)

–         Chuyên đề các bài toán suy luận Logic (OK)

–         Chuyên đề giải toán suy luận Logic bằng biểu đồ Ven (đón đọc)

–         Chuyên đề giải toán suy luận Logic bằng PP lập bảng (đón đọc)

–         Chuyên đề giải toán suy luận Logic bằng phương pháp lựa chọn tình huống (đón đọc)

Bài 1: (Chuyên ams 2 – 2006)

Người ta viết lên bảng 10 số  từ 1 đến 10. Lần thứ nhất xóa đi hai số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn 9 số. Lần thứ 2 xóa đi hai số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, và cứ tiếp tục như vậy. Hỏi sau lần thứ 9, trên bảng còn lại một số chẵn hay một số lẻ?

Phân tích:

Trước hết chúng ta thấy có 10 số, mỗi lần thực hiện xóa và thay số như thế thì giảm đi 1 số, như vậy sau 9 lần sẽ chỉ còn 1 số.

Với đề bài này, người ta hỏi số còn lại là chẵn hay lẻ, như vậy ta hãy phân tích tính chẵn lẻ của tổng…Lúc đầu tổng các số là 1+2+…+10 = 55 là số lẻ.

Hãy thử với vài trường hợp đơn giản, ví dụ nếu bỏ 1,2 thì thay bởi số 3, khi đó tổng của chúng vẫn là 55, vẫn là số lẻ….

Đến đây thì nhìn ra lời giải rồi đúng không nào? Dù thay thế nào thì tổng vẫn không đổi và bằng 55, tức là 1 số lẻ. Trên đây là phân tích, lập luận để đi đến lời giải, ChuTieuThichHocToan sẽ trình bày lời giải như dưới đây để các cháu tham khảo.

Giải

Nhận thấy nếu ta thay 2 số bởi tổng của chúng thì tổng tất cả các số trên bảng là không đổi. Như vậy sau 9 lần thay số thì tổng các số vẫn là 1+2+3+…+10 = 55 là 1 số lẻ.

(Lời giải ngắn chưa nào. Toán suy luận logic thì suy luận là chính, giải lại khá ngắn gọn)

Bài 2: (Thi chuyên AMS 2 năm 2005)

Có 6 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm 6 bài. Mỗi bài đúng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm. Có thể chắc chắn rằng ít nhất hai bạn có số điểm bằng nhau được không? Giải thích tại sao?

Phân tích và gợi ý giải:

Bài này đề bài lại hỏi theo kiểu có hay không, nhưng chúng ta hãy bình tình. Nếu một khi chúng ta đã hiểu bản chất của bài toán dạng này thì sẽ không gì làm chúng ta sợ hay mất tự tin được cả.

“Hai học sinh bằng điểm nhau” => Học sinh chính là “thỏ”, điểm chính là “chuồng”.

Vấn đề bài toán trở thành đi tìm số điểm có thể (số chuồng), từ đó sẽ giúp chúng ta trả lời được câu hỏi của đề bài.

Đề thi gồm 6 bài, xảy ra các trường hợp sau:

– Đúng hết 6 câu => 12 điểm

– Đúng 5 câu, sai 1 câu => 5×2 -1 = 9 điểm

– Đúng 4 câu, sai 2 câu => 4×2 -2×1 = 6 điểm

– Đúng 3 câu, sai 3 câu => 3×2 – 3×1 = 3 điểm

– Đúng 2 câu, sai 4 câu => 2×2 – 4x 1 = 0 điểm

– Đúng dưới 2 câu => dễ thấy sẽ bị 0 điểm.

Nhìn lại ta thấy chỉ có 0,3,6,9,12 điểm tức là chỉ có 5 loại điểm, trong khi có 6 học sinh => có 2 học sinh cùng điểm.

 

Bài phát triển 2.1

Có 8 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm 8 bài. Mỗi bài đúng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm. Có thể chắc chắn rằng ít nhất hai bạn có số điểm bằng nhau được không? Giải thích tại sao?

Phân tích:

Cũng tương tự bài trên, ChuTieu và các cháu hãy cũng xét xem có bao nhiêu loại điểm mà các học sinh có thể có được.

Việc xét số điểm học sinh có thể đạt được đơn giản chỉ là xét các trường hợp về bài làm. Ví dụ như bài làm có bao nhiêu câu đúng, bao nhiêu câu sai…

–         Bài có 8 câu đúng, 0 câu sai => 16 điểm

–         Bài có 7 câu đúng, 1 câu sai => 7×2 – 1×1 = 13 điểm

–         Bài có 6 câu đúng, 2 câu sai => 6×2 – 2×1 = 10 điểm

–         …

–         Bài có 3 câu đúng, 5 câu sai => 3×2 – 5×1 = 1 điểm

–         Bài có 2 câu đúng, 6 câu sai => 2×2 – 6×1 < 0 => coi 0 điểm

–         Bài có 1 câu đúng, hoặc 0 câu đúng => coi là 0 điểm.

Thực ra chúng ta có thể xét tất cả các trường hợp như trên (cũng không quá dài) nhưng nếu chúng ta tinh ý hơn thì có thể thấy như sau: khi giảm đi 1 câu đúng thì tăng 1 câu sai, giảm 1 câu đúng làm giảm 2 điểm, tăng 1 câu sai làm giảm 1 điểm => giảm 3 điểm. Đó chính là lý do mà ta thấy các số điểm là;16, 13, 10, 7, 4, 1, 0: có 7 loại điểm.

Như vậy 8 học sinh thi, có 8 điểm mà chỉ có 7 loại điểm => tồn tại 2 học sinh có số điểm bằng nhau.

Bài phát triển 2.2

1.Hãy thay 1 bộ số liệu để có bài tập mới. (ví dụ 10 học sinh và bao nhiêu bài kiểm tra)

Bài phát triển 2.3

Có 12 bạn thi giải Toán, mỗi người phải làm cùng 1 số bài tập trong đề thi. Mỗi bài đúng được 2 điểm, mỗi bài sai bị trừ 1 điểm, nhưng nếu số điểm bị trừ nhiều hơn số điểm đạt được thì học sinh đó bị coi là 0 điểm. Tìm số bài tập nhiều nhất có thể trong bài thi để luôn tìm được 2 bạn trong 8 bạn học sinh kể trên có số điểm giống nhau.

Phân tích:

Bài này lại hỏi ngược lại với bài trên. Ta phải đi tìm số bài kiểm tra sao cho với cách tìm số loại điểm như trên thì chỉ tối đa 11 loại điểm.

Tương tự cách xét trên ta gọi số bài là a thì số điểm tối đa là 2xa đạt được khi đúng hết a câu.

Nếu giảm 1 câu đúng thì tăng 1 câu sai => số điểm giảm 3 đơn vị.

Cứ như vậy sẽ giảm và lùi dần về 1 điểm (hoặc 2 điểm) và sau khi số điểm đạt được nhỏ hơn số điểm bị trừ thi bị xét là 0 điểm.

Ta cứ liệt kê các loại điểm từ bé đến lớn:

TH1:  0, 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 (đến số điểm thứ 11 là 28 chia hết cho 2 => có 28:2 = 14 câu)

TH2: 0, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 (số thứ 11 ko chia hết cho 2 nên loại)

TH3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 (chia hết cho 2 => 15 câu)

Từ đó ta có thể tìm được a = 15, khi đó số điểm là: : 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.

Bài 3: (Thi chuyên AMS 2 năm 2007)

Bốn bạn Xuân, Hạ, Thu, Đông chơi đấu cờ, mỗi bạn thi đấu 1 ván cờ với từng người còn lại. Mỗi ván thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm và thua được 0 điểm. Biết trong các ván cờ có 3 ván hòa, Hạ được 1,5 điểm. Thu và Đông mỗi người được 1 điểm. Hãy tính số điểm của Xuân và cho biết kết quả ván cờ giữa Xuân và Hạ.

Phân tích và gợi ý giải:

Trước hết ta hãy chú ý đến việc mỗi người thi đấu với từng người còn lại. Như vậy 1 người sẽ đấu với 3 người còn lại. Nếu không kể lặp lại, mỗi bạn đấu 3 bạn còn lại nên sẽ có 4×3 =12 trận. Tuy nhiên nếu A đấu với B thì cũng có nghĩa là B đã đấu với A nên việc tính ở trên đã được lặp lại 2 lần. Suy ra số trận đấu tất cả là: 12:2=6 trận.

Bây giờ lại phân tích số điểm. Mỗi một trận nếu có kết quả thắng thua thì tổng số điểm của hai người tham dự trận đấu đó là 1+0 =1, nếu hòa là 0,5+0,5=1. Như vậy tổng số điểm của mỗi trận đấu đều là 1.

Có 6 trận => có 6 điểm. Từ đây ta tính được số điểm của Xuân = 6 -1,5 -1 -1 = 2,5 điểm

Kết quả giữa Xuân và Hạ: Ta thấy Xuân được 2,5 điểm tức là Xuân sẽ thắng 2 và hòa 1. (2×1+0,5=2,5).

Giả sử Xuân hòa với Hạ, khi đó Hạ được 0,5 điểm từ trận hòa này. Mà Hạ được tất cả 1,5 điểm nên Hạ có 1 điểm nữa. Một điểm này của Hạ có thể có hai khả năng, hoặc từ 1 trận thắng, hoặc từ 2 trận hòa.

Nếu Hạ thắng, do vai trò của Đông và Thu là như nhau ta giả sử Hạ thắng Thu, khi đó vì Thu được 1 điểm và đã thua Hạ, Xuân nên Thu phải thắng Đông. Lúc này Đông phải thắng Hạ. Nhưng do có đúng ba ván hòa nên điều này không thỏa mãn.

Nếu Hạ hòa hai trận, khi đó Hạ hòa Thu và Đông, như vậy Hạ hòa cả 3 trận. Do Thu và Đông được 0,5 điểm từ trận hòa với Hạ, => trận giữa Thu và Đông cũng phải hòa => có 4 trận hòa (vô lý)

Như vậy Xuân phải thắng Hạ. (đến đây là xong rồi, nhưng để tốt hơn, ChuTieuThichHocToan nghĩ rằng chúng ta nên chỉ ra 1 trường hợp thỏa mãn đề bài. Ví dụ:

Xuân:  thắng Hạ, thắng Thu, hòa Đông

Hạ: thua Xuân, thắng Thu, hòa Đông

Thu: thua Hạ, thua xuân, thắng Đông

Đông: hòa Xuân, hòa Hạ, thua Xuân

 

Bài 4: (Thi AMS 2 năm 2007)

Có 3 hộp giống hệt nhau, một hộp đựng 2 bóng đỏ, 1 hộp đựng 2 bóng xanh, một hộp đựng 1 bóng đỏ và 1 bóng xanh được dán nhãn theo màu bóng ĐĐ, XX, ĐX. Nhưng do dán nhầm nên các nhãn đều khác màu bóng trong hộp. Làm thế nào chỉ cần lấy ra 1 quả mà biết được màu bóng trong cả ba hộp.

Phân tích và giải:

Ta lấy ra 1 quả ở hộp có dán nhãn là DX. Do việc dán nhầm nên đây không phải là hộp chứa 2 quả đỏ và xanh. DX có thể là 2 quả xanh hoặc hai quả đỏ.

Nếu quả lấy ra là đỏ => DX được dán cho hộp chứa hai quả đỏ => DD được dán cho hộp chứa hai quả xanh, XX được dán cho hộp chứa hai quả xanh và đỏ.

Nếu quả lấy ra là xanh =>DX được dán cho hộp chứa hai quả xanh => XX được dán cho hộp chứa 2 quả đỏ và DD dán cho hộp chứa quả đỏ và quả xanh.

Bài 5 (Thi AMS 2000)

Trong 1 chiếc hộp có 8 bi đỏ, 6 bi xanh và 13 bi vàng. Không nhìn vào hộp, hỏi phải lấy ít nhất bao nhiều viên để chắc chắn có 5 viên cùng màu.

Phân tích:

Ta hãy thử giả sử ngược lại, nếu không có 5 viên cùng màu mà chỉ có nhiều nhất là 4 viên cùng màu, khi đó ta lấy đến 12 viên: 4 bi đỏ, 4 bi xanh và 4 bi vàng, tức là 12 viên bi mà mỗi loại chỉ có 4 viên bi cùng màu.

Vậy nếu chúng ta lấy 13 viên bi thì điều gì sẽ xảy ra?  => chắc chắn sẽ có 5 viên bi cùng màu…

Với dạng toán này, đề bài yêu cầu tìm số viên ít nhất, vì thế chúng ta cần làm 2 việc sau:

–         Chỉ ra giá trị của số cần tìm (ở bài này là 13) và chứng minh với giá trị đó tthì thỏa mãn yêu cầu của đề bài (có 5 viên bi cùng màu)

–         Chỉ ra với giá trị nhỏ hơn 1 đơn vị (ở bài này là 12) thì yêu cầu của đề bài không thỏa mãn.

Giải:

Ta chứng minh nếu lấy ít nhất 13 viên thì sẽ luôn tồn tại 5 viên cùng màu.

Thật vậy, giả sử không có 5 viên bi nào cùng màu, khi đó mỗi loại màu chỉ có nhiều nhất là 4 viên cùng màu => số viên bi nhiều nhất là 4 + 4 + 4 = 12 (vô lý)

Vậy với 13 viên bi, ta luôn có 5 viên cùng màu.

Bây giờ ta chứng minh, nếu lấy ít hơn 13 viên, thì có thể tồn tại cách lấy để không có 5 viên bi nào cùng màu. Giả sử lấy 12 viên với 4 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng => không có 5 viên nào cùng màu.

Đáp số: 13 viên bi.

Phát triển bài toán:

Bài 5.1:

Trong 1 chiếc hộp có a bi đỏ, b bi xanh và c bi vàng. Không nhìn vào hộp, hỏi phải lấy ít nhất bao nhiều viên để chắc chắn có d  viên cùng màu. (với d < a,b,c)

Đáp số: 3 x (d -1)+ 1

Bài 5.2:

Ở bài 5 ta thấy số viên bi cùng màu mà đề bài yêu cầu là ít hơn số bi mà mỗi màu có (8,6,13). Giả sử số viên bi đề bài yêu cầu cùng màu nhiều hơn số bi của 1 loại nào đó thì sao? Xét ví dụ sau:

Trong 1 chiếc hộp có 8 bi đỏ, 3 bi xanh và 13 bi vàng. Không nhìn vào hộp, hỏi phải lấy ít nhất bao nhiều viên để chắc chắn có 5 viên cùng màu.

Giải: Với bài số 5 ta thấy đáp số là 3 x (5-1) + 1 = 13.

Với bài toán mới này, ta thấy chỉ có thể nhiều nhất 3 viên bi xanh. Vì thế số viên bi nhiều nhất không thỏa mãn 5 viên cùng màu chỉ là; 3 + 4+ 4 = 11 (vì chỉ có tối đa 3 viên bi xanh)

Khi ta lấy 11 + 1 = 12 viên bi, chắc chắn sẽ có 5 viên bi cùng màu. Thật vậy giả sử ngược lại sẽ chỉ có tối đa là 3 viên xanh + 4 viên đỏ + 4 viên vàng = 11 viên.

ChuTieuThichHocToan® :  Bài toán có thể phát triển theo rất nhiều hướng khác nhau bằng việc thay đổi các dữ kiện của bài toán. Tuy nhiên với các cháu học sinh lớp 5, ChuTieuThichHocToan xin dừng lại ở đây. Qua bài toán này, các cháu cần lưu ý về dạng toán tìm điều kiện ít nhất để thỏa mãn yêu cầu đề bài, với dạng này, thử các trường hợp nhiều nhất để không thỏa mãn là 1 kỹ thuật rất hay giúp chúng ta tìm ra đáp số.

Bài 6:

Trong hộp có tất cả 25 viên bi màu đỏ, 17 viên bi xanh,22 viên bi vàng. Hỏi nếu không được nhìn vào trong hộp thì phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để có đủ cả ba màu ?

Phân tích:

Đề bài hỏi “Để có đủ ba màu thì cần lấy ít nhất bao nhiêu viên?”. OK, đây là dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất để thỏa mãn điều kiện nào đó, ta hãy lật lại vấn đề, giá trị lớn nhất để KHÔNG thỏa mãn là gì? => Ở bài này, ta tìm số viên bi nhiều nhất có thể lấy ra mà chỉ có 2 màu. Từ đề bài, dễ thấy ta có thể lấy tối đa 25 viên bi màu đỏ, 22 viên màu xanh, tức là có thể lấy ra 47 viên mà không có đủ 3 màu.

Như vậy, nếu ta lấy 48 viên, trường hợp xấu nhất là có 25 viên bi đỏ, 22 viên bi xanh thì còn 1 viên bi màu vàng. Như vậy ta thấy đáp số là 48.

Đó là phân tích để đi đến lời giải.

Giải:

Xét trường hợp lấy 48 viên bi, ta sẽ chứng minh luôn có đủ 3 màu nếu lấy ít nhất 48 viên bi.

Giả sử phản chứng, tức là không đủ 3 màu, khi đó số màu tối đa là 2 màu, số viên bi tối đa để chỉ có hai màu là 25 viên bi đỏ và 22 viên bi xanh. Tổng số bi lớn nhất mà chỉ có 2 màu là: 22 + 25 = 47 (< 48) vô lý.

Với cách lấy 47 viên (25 đỏ, 22 xanh) thì chỉ có 2 màu.

Vậy số viên bi ít nhất cần lấy là: 48

Bài phát triển 6.1

Trong hộp có tất cả 25 viên bi màu đỏ, 17 viên bi xanh,22 viên bi vàng. Hỏi nếu không được nhìn vào trong hộp thì phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để có đủ hai màu ?

Bài này dễ hơn, lý luận tương tự ta có đáp số: 26 viên bi (chính là 25 + 1)

Bài phát triển 6.1

Trong hộp có tất cả 25 viên bi màu đỏ, 17 viên bi xanh,22 viên bi vàng. Hỏi nếu không được nhìn vào trong hộp thì phải lấy NHIỀU NHẤT bao nhiêu viên bi để chỉ có tối đa hai màu?

Bài này cũng tương tự, ta có đáp số: 47 viên.

Bài 7: (Thi AMS 2 -2006)

Phải dùng ít nhất bao nhiêu chữ số 8 để tạo ra các số có tổng là 1000

Phân tích:

Với yêu cầu ít nhất chữ số 8 thì trước hết ta hãy nghĩ đến việc tao ra số gồm các chữ số 8 mà gần 1000 nhất, số đó là 888. Lúc này vì 1000 – 888 = 112.

Ta lại tạo ra số gồm chữ số 8 gần số 112 nhất, số đó là 88, lúc này còn 112 – 88 = 24 = 8+ 8+8

Như vậy ta thấy dùng 8 chữ số 8 sẽ tạo ra các số có tổng là 1000

888

88

8

8

8

Bài 8:

Một lớp có 26 bạn học sinh. Hãy chứng tỏ rằng trong 1 tháng có ít nhất ba bạn sinh nhật

Phân tích:

Đây là dạng toán chứng minh tồn tại ít nhất (gì đó) có đặc điểm chung nào đó, thuộc dạng Dirichle. Ta hãy nhận biết đâu là thỏ, đâu là chuồng.

Hãy nhìn vào yêu cầu “ít nhất 1 tháng” sẽ tương ứng với “ít nhất 1 chuồng”…Như vậy số học sinh chính là số thỏ, số tháng chính là số chuồng.

Ta hãy giải dạng toán dirichle này bằng phương pháp phản chứng. Các cháu học sinh chú ý các bước giải nhé, khi đi thi trình bày từng bước, từng bước 1 cách logic, khoa học sẽ được điểm cao hơn, ít bị trừ điểm hơn. Hoặc nếu có làm sai đáp số thì vẫn được điểm những bước đầu…

Giải

(Bước 1-Giả sử phản chứng)

Giả sử không có tháng nào mà có nhiều hơn 2 học sinh sinh nhật. Khi đó số học sinh lớn nhất có thể là: 12 x 2 = 24 học sinh

(Bước 2-Chỉ ra điều vô lý)

Vì 24 < 26 học sinh nên ta thấy mâu thuẫn với đề bài cho 26 học sinh.

(Bước 3-Kết luận)

Vậy giả sử của ta là sai. Hay luôn tồn tại 1 tháng có ít nhất 3 bạn sinh nhật

Chú ý phần ChuTieuThichHocToan bôi đỏ nhé…

 

Bài tập làm thêm:

Bài 9: Cho lần lượt vào hộp bắt đầu viên bi đỏ, bi vàng, bi xanh rồi lại bi đỏ, bi vàng, bi xanh. Tiếp tục theo thứ tự đó cho đến hết 30 viên bi. Không nhìn vào hộp lấy ra bất kì một số bi nào đó, phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn rằng trong các viên bi lấy ra bao giờ cũng đủ 3 màu đỏ, vàng, xanh.

Bài 10: Trong một cuộc thi tài Toán tuổi tuổi thơ có 51 bạn tham dự. Mỗi bạn phải giải 5 bài: luật cho điểm như sau:

– Mỗi bài làm đúng được 4 điểm.

– Mỗi bài làm sai hoặc không làm sẽ bị trừ 1 điểm.

Hãy chứng tỏ rằng tìm được 11 bạn có số điểm bằng nhau.

 

 

 

Leave a comment

3 Comments

  1. Hoàng Nam

     /  April 3, 2013

    Mẹ con cháu cảm ơn chú nhiều ạ.

    Reply
  2. Minh

     /  April 3, 2013

    Rat de hieu chu tieu a. Chau cam on chu.

    Reply
  3. Mẹ Đức Anh

     /  April 21, 2013

    Giá như chú tiểu post sớm hơn từ đầu năm học và các con cũng biết chú sớm hơn thì sẽ rất tốt. Cách dạy của chú khích lệ tư duy và phát triển bài toán, sẽ giúp các cháu nhớ lâu, nắm bài chắc và tự học tốt hơn.

    Reply

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: