Chuyên đề chứng minh hai biểu thức nguyên tố cùng nhau

ChuTieuThichHocToan: Xin chào các cháu, các anh chị phụ huynh.

Như đã đề cập trong chuyên đề Tìm điều kiện để 1 biểu thức chia hết cho biểu thức khác , hôm nay ChuTieu tiếp tục post về chuyên đề chứng minh hai biểu thức nguyên tố cùng nhau, sau khi nhận được phản hồi tích cực từ một số cháu học sinh…

Quan điểm của ChuTieu là khuyến khích sự tự học, tự đọc, vì thế các chuyên đề được soạn theo phong cách để tự học, tự tìm tòi, suy luận, đi từ cái dễ đến cái phức tạp. Lối hành văn (ChuTieu không chắc có được gọi là “văn” không nữa) cũng sẽ theo hơi hướng của sự tự vấn, sự suy tư, tìm tòi khám phá.

Mong rằng, qua chuyên đề, sẽ giúp các cháu rút ra được những điều bổ ích cho mình. A di đà phật:)

Nào, cùng bắt đầu khám phá….

Chú ý: Ký hiệu “:” thay cho dấu chia hết nhé!!!

Bài 1: Chứng minh rằng (n, n+1) = 1

Giải: Bài này quá dễ phải không nào?

Gọi (n,n+1) = d

=> n : d, n+1: d => (n+1)-n = 1:d

Vậy d = 1 hay (n, n+1) = 1

Nhận xét: Ở bài trên chúng ta đã sử dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) để chỉ ra ước chung lớn nhất của hai biểu thức là 1, tức là hai biểu thức nguyên tố cùng nhau.

Ta thấy bài trên rất dễ, hai hệ số của n đều là 1.

Bây giờ ta thử thay đổi hệ số của n xem sao nhé.

Bài 2. Chứng minh rằng (n, 2n+1) = 1

Giải: Cũng với nhận xét là ta phải làm sao cho mất n đi, chỉ còn lại 1 số nào đó chia hết cho ước chung lớn nhất d.

Ta sẽ làm như sau:

Gọi (n, 2n+1) = d

=> n : d, 2n+1:d

=> 2n: d và 2n+1:d

=> (2n+1)-2n = 1:d

=> d = 1

Vậy (n, 2n+1) =1

Nhận xét: Với bài số 2 này, chúng ta phải nhân thêm hệ số 2 cho biểu thức đầu tiên. Mục đích của việc nhân thêm là để làm sao ta triệt tiêu được n ở hai vế…

OK. Các cháu hiểu chưa nào? Thử vận dụng giải 1 số bài sau nhé:

Bài tự làm 1: Chứng minh rằng (n, 3n+1) = 1

Bài tự làm 2: Chứng minh rằng (n, 5n-1) = 1

Bài tự làm 3: Chứng minh rằng (n, 6n+1) = 1

Nào, tiếp tục tìm tòi…

Ở bài trên, các cháu thấy thật là may mắn khi sau khi nhân ta trừ hai vế nhận được ngay số 1. Từ đó rút ra d chỉ có thể bằng 1 hay hai biểu thức nguyên tố cùng nhau.

Bây giờ, ChuTieuThichHocToan sẽ suy nghĩ để ra một bài mà sau khi nhân thêm, trừ đi ta không còn được số 1 đẹp đẽ nữa nhé.

Bài 3: Chứng minh rằng (2n + 1,  2n + 5) = 1

Giải: Ta giả sử (2n+1, 2n+5) = d

=> 2n+1 : d, 2n+5 : d

=> (2n+5) – (2n+1) = 4:d

=> d = {1,2,4}

Đây rồi, điểm khác biệt là ở đây, đến đây hãy nhớ mục đích của chúng ta là đi chỉ ra d = 1 tức là loại bỏ các trường hợp còn lại d = 2,4

Ta hãy nhìn lại hai biểu thức ban đầu, nhận thấy 2n+1 luôn là số lẻ => 2n+1 không chia hết cho 2,4 => d khác 2,4

Vậy d chỉ có thể bằng 1 hay (2n+1, 2n+5) = 1

Nhận xét: Khi loại các trường hợp của d, các cháu chú ý xem xét tính chất chẵn lẻ của d, tính chất chẵn lẻ, chia hết cho 3,5,…của các biểu thức ban đầu.

Bài 4: Chứng minh rằng (5n + 1, 5n – 4) = 1

Bài này giải tương tự các cháu sẽ thấy d = {1,5}

Vì 5n+1 không chia hết cho 5 => d khác 5.

OK. Như vậy là chúng ta đã đi thêm 1 bước nữa rồi. Bây giờ, hãy nghĩ giải lao 5 phút trước khi chúng ta tiếp tục nhé.

Các cháu có thể đọc bài viết sau trong lúc giải lao:  Đặt mục tiêu học tập

………

………

………

Nào, tiếp tục nhé. Các cháu chắc đang rất tự tin khi đã nắm được khá vững những dạng trên rồi đúng không? Chưa hết đâu, ChuTieu và các cháu tiếp tục phát triển bài toán nào.

Qua các bài trên, các cháu thấy chúng ta đã phải nhân thêm hệ số cho 1 trong 2 biểu thức rồi. Giờ nếu ta phải nhân thêm cho cả hai vế thì sẽ như thế nào nhỉ?

Bài 5. Chứng minh rằng (2n+1, 3n+2) =1

Giải: Nhận xét: hệ số của biểu thức đầu là 2, của biểu thức sau là 3. Vậy ta phải nhân thêm cả hai biểu thức để làm sao đưa về cùng 1 hệ số n.

Ta giả sử (2n+1, 3n+2) = d

=> 2n+1 :d, 3n+2 : d

=> 3(2n+1) :d, 2(3n+2) :d

=> 6n+3 : d, 6n +4 :d

=> (6n+4)-(6n+3) = 1 : d

=> d = 1

Các cháu thấy không, khi chúng ta biết mục đích của chúng ta là gì (là triệt tiêu n), chúng ta sẽ biết cách để làm được điều đó (nhân thêm hệ số).

Các cháu thấy ở trên chúng ta đã nhân biểu thức thứ nhất  với hệ số của biểu thức thứ 2, và ngược lại…Điều này có phải luôn đúng?

Bài 6. Chứng minh rằng (2n+1, 8n + 2) = 1

Nhận xét: Ta thấy hệ số của biểu thức 2 là 8, chia hết cho hệ số biểu thức 1 là 2. Vậy ta chỉ việc nhân thêm biểu thức 1 với 8:2 = 4 là xong.

Giải:

Giả sử (2n + 1, 8n+2) = d

=> 4(2n+1) – (8n+2) = 2 : d

=> d = 1,2

Mà 2n+1 không chia hết cho 2 => d khác 2.

Vậy d = 1 hay (2n+1, 8n+2) =1

Trong bài trên, hai hệ số chia hết cho nhau, còn bài này thì sao?

Bài 7. Chứng minh rằng (12n + 5, 18n + 7) = 1

Nhận xét: Nào hãy nhớ lại mục đích, mục đích của chúng ta là làm mất n <= muốn mất n, cần hai vế có cùng n <= cần nhân thêm để có cùng n <= tìm bội chung nhỏ nhất của hai hệ số hiện tại [12,18] = 36 <= cần nhân thêm 12 với 3, nhân thêm 18 với 2.

Giải:

Giả sử (12n + 5, 18n + 7) = d

=> 12n + 5 : d = 3(12n+5) = 36n + 15 : d

và 18n + 7 : d=> 2(18n+7) = 36n + 14 :d

=> (36n+15) – (36n + 14) = 1 : d

=> d = 1

Vậy (12n + 5, 18n + 7) = 1

Great!!! Vậy là chúng ta đã tìm tòi khám phá về dạng toán chứng minh nguyên tố cùng nhau. ChuTieuThichHocToan xin giao bài tập về nhà nhé:

1. Tổng quát các bước giải dạng toán này

2. Tìm 5 bài tập cùng dạng trong sách tham khảo và giải

3. Tự ra 5 đề bài để hiểu rõ hơn vấn đề và giải.

 

 

Leave a comment

10 Comments

  1. Minh Trang

     /  March 29, 2013

    Tuyệt vời quá ChuTieu ơi. Con cảm ơn chú nhiều. Chú có mở lớp dạy học không, cho con theo học thêm với ạ. Con thích cách dẫn dắt dễ hiểu của chú lắm.

    Reply
  2. Hoai

     /  March 29, 2013

    Hay quá chú ơi

    Reply
  3. Phu Huynh Hoc Sinh

     /  March 29, 2013

    Chào thầy.
    Tôi có con năm nay học lớp 6, tôi vẫn theo kèm cháu học, nhưng đến năm nay thấy cháu hỏi nhiều bài khó mà tôi không còn nhớ nữa. Nay thấy blog của thầy soạn bài và chia sẻ với các cháu tôi rất cảm kích sự chia sẻ của thầy. Bài viết của thầy dễ hiểu, sáng tạo và phát triển tư duy. Bài giảng không chỉ dùng cho các cháu mà cho cả phụ huynh dùng kèm con học như tôi.
    Một lần nữa, xin cảm ơn thầy.

    Reply
  4. Chào Minh Trang: Hiện tại chú không có lớp dạy vì chú bận đi làm con nhé. Con cứ theo dõi bài chú post và tự học, có gì ko hiểu hỏi chú cũng được.
    @Hoài : Cảm ơn lời khen của con
    @Phụ Huynh Học Sinh: Cảm ơn anh, chị. Rất mong được anh, chị góp ý nếu bài viết có sai sót hoặc có gì khó hiểu.

    Reply
  5. Minh

     /  April 2, 2013

    Con rat thich cac dan dat va tu duy cua chu. Cam on chu.

    Reply
  6. Dạng này còn có thể phát triển thành hai biểu thức chia hết cho nhau mà biểu thức bên số bị chia có lũy thừa lớn hơn 1. Ví dụ n^2 + 1 chia hết cho n-1 chẳng hạn.
    Các cháu lớp 8 học phân tích thành nhân tử thì dạng này phổ biến hơn.

    Reply
  7. thanhhai

     /  October 10, 2013

    Dạy con thật là khó. Cảm ơn chutieuthichhoctoan nhiều lắm. ThanhHai

    Reply
  8. Tran Thi Hai Minh

     /  October 26, 2013

    Chao Thầy ạ. Con ở TPHCM. Nếu thầy mở lớp thầy cho con học với ạ. Được thầy dạy đó là niềm mơ ước vô cùng lớn lao đối với con.

    Reply
    • Chào con,
      Chú Tiểu ở Hà nội và không có lớp học thêm nhé.
      Chú Tiểu chỉ là kẻ ngoại đạo, yêu Toán và say mê Toán mà thôi…

      Reply
      • Hoàng Phương Thảo

         /  June 6, 2014

        Cảm ơn chú, chú quá tuyệt vời. Mong rằng các con sẽ có nhiều người thầy tuyệt vời như chú. Chúc chú luôn khỏe và vui vẻ.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: