Chuyên đề: Tìm điều kiện để 1 biểu thức chia hết cho biểu thức khác

ChuTieuThichHocToan thân chào các em học sinh.

Gần đây trên wtt hay qua điện thoại, ChuTieu thấy mấy cháu hỏi những bài thuộc dạng tìm điều kiên để hai biểu thức chia hết cho nhau.

Đây là dạng toán hết sức quen thuộc trong chương trình lớp 6. Dạng toán này sẽ sử dụng đến kỹ thuật tách, ghép, thêm bớt. Kỹ thuật quan trọng với học sinh lớp 6 để giải 1 loạt các bài toán về:

– Tìm điều kiện hai biểu thức chia hết cho nhau

– Chứng minh hai biểu thức nguyên tố cùng nhau

– Chứng minh phân số tối giản

– Tìm điều kiện để phân số rút gọn được…

Ở bài này, ChuTieu sẽ tản mạn một chút về cách học, cách suy luận và phân tích để dẫn đến những cách giải hay, thông dụng và tổng quát cho cùng dạng toán.

Nào, hãy bắt đầu bằng bài toán của học sinh tiểu học….

Bài 1: Tìm các số tự nhiên n sao cho 5 chia hết cho n- 1

Giải: Bài này có lẽ không cháu nào không giải được đúng không nào…

Ta có n-1 thuộc U(5) = {1,5}

=> n = {2,6}

OK rồi, dễ quá, bây giờ ta hãy phát triển thêm bài toán nào…Ở lớp 6 các cháu học về tính chất chia hết của một tổng, phát biểu đơn giản cho 2 số như sau:

Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì a+b và a-b đều chia hết cho m.

Hay có thể phát biểu ngược lại: Nếu a+b (hoặc a-b) chia hết cho m, a chia hết cho m thì b cũng chia hết cho m.

Vậy ta hãy cộng thêm vào số bị chia của bài toán trên một số lần của số chia xem sao. Ví dụ chú cộng thêm 3 lần.

5 + 3(n-1) = 3n+2

Ố ố la la, nhìn có vẻ phức tạp rồi đây. ChuTieu phát biểu bài toán thành như sau:

Bài 2: Tìm n tự  nhiên để 3n+2 chia hết cho n-1.

Như vậy, chuTieu đã ra được đề bài rồi, giờ các cháu chỉ cần giải ngược lại với quá trình ra đề là được.

Ta có 3n+2 = 3(n-1) + 5

Vì 3(n-1) chia hết cho n- 1 nên suy ra 4 chia hết cho n-1.

Từ đó suy ra n-1 = {1,5}  hay n = {2,6}

Great!!! Tuyệt vời, giờ thì ChuTieu tin rằng cháu nào cũng có thể tự ra đề cho mình được.

Nhưng khoan hãy rời bàn học vội, còn có điều thú vị phía trước…Ta hãy nhận xét hệ số (số mà nhân với n) của hai vế xem sao???

Số bị chia có hệ số lớn hơn 1, số chia có hệ số là 1. như vậy, kiểu gì ta cũng tách được số bị chia ra thành 1 số lần số chia…

Tổng quát như sau:

an+b chia hết cho n + c

Ta tách: an+b = a(n+c-c) + b = a(n+c) – ac + b chia hết cho n+c. Suy ra b-ac chia hết cho n+c

Đã tổng quát được rồi, ta tiếp tục suy nghĩ, nếu hệ số của số chia khác 1 thì sao?

Ví dụ:

Bài 3: Tìm n để 3n+4 chia hết cho 2n-1

Khó rồi đây, nếu tách 3n+4 = 2n – 1 + n + 5 thì vẫn còn n+5….

Làm sao đây, điều gì sẽ xảy ra nếu ta nhân thêm số bị chia với hệ số của số chia…

Nghĩa là: 2(3n+4) = 6n+8 = 3(2n-1+1) + 8 = 3(2n-1) + 11

Hay quá, như vậy xuất hiện chẵn lần số chia (2n-1) rồi.

Giải nào:

Ta có 3n+4 chia hết cho 2n-1

Suy ra 2(3n+4) chia hết cho 2n-1 (chú suy ra thôi nhé, sau đó ta phải thử lại, vì khi ta nhân thêm, ta đã “tạo thêm” nghiệm rồi. ví dụ: 3 không chia hết cho 6 nhưng 2×3 chia hết cho 6)

=> 3(2n-1) + 11 chia hết cho 2n-1

=> 11 chia hết cho 2n-1

=> 2n-1 = {1,11}

=> n = {1,6}

Thử lại:

n = 1 => 3n+4 = 7 chia hết cho 2n-1 = 1

n = 6 => 3n+4 = 22 chia hết cho 2n-1 = 11

Vậy n= 1,6 thỏa mãn đề bài.

Đến đây, xin mời các cháu tổng quát bài toán ứng với bài số 3 ở trên bằng cách comment bên dưới….

“Hãy học một, cố gắng biết hai. Hãy suy nghĩ thêm, sâu, rộng về bài toán thay vì giải xong gập vở đi chơi…”

ChuTieuThichHocToan

Leave a comment

6 Comments

  1. Hoang Nam

     /  March 29, 2013

    Con cảm ơn chú. Bài viết của chú hay quá, rất dễ hiểu và suy luận tự nhiên để đi đến bài toán phức tạp. Chú post tiếp những chuyên đề còn lại đi ạ.

    Reply
  2. Minh Trang

     /  March 29, 2013

    Chú ơi, con tổng quát bài 3 thế này được không ạ?
    Tìm n để an+b chia hết cho cn+d, với (a,c) = 1
    Nhân thêm c vào an+b
    => c(an+b) = acn+bc = a(cn+d) – ad+bc
    => bc-ad chia hết cho cn+d
    Chú post tiếp các chuyên đề khác đi ạ. Con thấy rất dễ hiểu và hay lắm ạ. Con cảm ơn chú.

    Reply
  3. @Minh Trang: Cảm ơn con. Con tổng quát đúng rồi. Điều quan trọng là các con nắm được cốt lõi của vấn đề, bài toán sử dụng kiến thức gì, phân tích phương pháp giải ra sao…

    Reply
  4. Đã có chuyên đề mới:: Chuyên đề chứng minh hai biểu thức nguyên tố cùng nhau
    https://chutieuthichhoctoan.wordpress.com/2013/03/29/chuyen-de-chung-minh-hai-bie%CC%89u-thuc-nguyen-to-cung-nhau/

    Reply
  5. Hoai

     /  March 29, 2013

    Thầy ơi, thầy giảng dễ hiểu quá!

    Reply
  6. Tran Thi Hai Minh

     /  October 26, 2013

    Thầy là người thầy tuyệt vời nhất trong lòng con. Con vô cùng cảm ơn thầy.

    Reply

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: