Chuyên đề thi cấp 2 AMS: CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT, CHIA CÓ DƯ

CÁC BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT, CHIA CÓ DƯ

ChuTieuThichHocToan: Chú Tiểu mới sưu tầm các bài về dạng chia hết, chia có dư trong các đề thi vào chuyên cấp 2 AMS.

Post lên đây cho các cháu tham khảo. Chú tiểu sẽ sửa đổi, thêm lời phân tích và các bài tương tự khi nào có thời gian rảnh.

Hi vọng giúp được gì cho các cháu học sinh trong việc chinh phục trường AMS:)

Bài 1(Thi AMS 2005)

Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó chia 5 dư 4, chia 8 dư 4 và hiệu của các thương là 426.

Giải:

Gọi số đó là a. Suy ra a – 4 chia hết cho 5 và a – 4 chia hết cho 8. Hiệu hai thương là 426.

Như vậy a – 4 = 5q = 8k

=> q/k = 8/5

Và q – k = 426

Bài toán trở thành tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số.

Hoặc có thể giả sử k là 5 phần, q là 8 phần => hiệu là 3 phần = 426 => 1 phần = 426 : 3 = 142

Từ đó suy ra q = 8×142 = 1136

=> a = 4 + 5×1136 = 5684

Chú ý: Bài này đi thi làm chỉ mất 2 phút.

Bài 2: (Thi AMS 2 – 2006)

Một số được viết bằng 2006 số 7. Hỏi phải cộng thêm vào số đó ít nhất bao nhiêu đơn vị để được 1 số chia hết cho 63.

Giải:

Nhận xét: Một số muốn chia hết cho 63 = 7×9 thì phải chia hết cho 7 và 9.

Ta thấy 1 số viết bằng 2006 số 7 thì chia hết 7, như vậy số đơn vị thêm vào phải chia hết cho 7. (tức là 7,14,….)

Mặt khác 2006 số 7 => tổng các chữ số là 2006×7 chia 9 dư 2 (Theo tính chất chia hết cho 9, một số chia 9 có số dư cùng với tổng các chữ số của nó khi chia cho 9) => ta phải thêm vào để chia hết cho 9 => thêm 9-2 = 7 đơn vị.

Vậy cần thêm ít nhất là 7 đơn vị.

Chú ý: Bài này đi thi làm chỉ mất 2 phút.

Bài 3: (Thi AMS 2 – 2008)

Cho số ab1 (cấu tạo số – có gạch trên) chia hết cho 7 và a +b = 6. Tìm số đó.

Giải:

Ta có ab1 =100a + 10b + 1 chia hết cho 7.

Ta hãy chia 100, 10 cho 7 để tìm số dư

=> 98a + 2a +7b + 3b + 1 chia hết cho 7

=> 2a + 3b + 1 chia hết cho 7

Thấy có 2a, 3b mà đề bài cho a+b = 6 nên ta tách:

2a+3b+1 = 2(a+b)+b + 1= 12+1+b chia hết cho 7

=> 13+b chia hết cho 7 => b = 1 hoặc 8.

=> b = 1(vì b < 6)

Chú ý: Bài này đi thi làm chỉ mất 1 phút.

 

Bài 4: (Thi AMS 2 -2009)

Tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n là 1 số có ba chữ số giống nhau. Tìm n.

Giải:

Thực ra bài này là kết hợp của dãy số có quy luật (dãy số cách đều) và bài toán tính chất chia hết.

Ta có tổng từ 1 đến n là:

S = n(n+1)/2 = aaa (có gạch) = a x 111

=> n(n+1) = 2xax111

Đến đây hãy tách 111 = 3×37

=> n(n+1) = 2x3x37xa

Lựa chọn a (a có 1 chữ số và khác 0) khéo léo sao cho vế phải là tích hai số liên tiếp => a = 6 => n = 36.

Bài 5: (Thi AMS 2 -1999)

Viết số tự nhiên nhỏ nhất gồm các chữ số khác nhau có tích các chữ số là 720.

Giải:

Hãy ghi nhớ điều sau: Muốn số cần tìm càng nhỏ thì số chữ số phải ít nhất có thể và chữ số ở hàng càng cao thì phải càng nhỏ (ví dụ hàng nghìn càng nhỏ, hàng trăm càng nhỏ càng tốt…)

Ta thấy 9 x 8 x 7 = 504 < 720 nên số cần tìm phải có ít nhất 4 chữ số.

Ta hãy phân tích 720 thành nhân tử nào; 720 = 2 x 2 x 2 x 5 x 9 = 2×4 x 5 x 9

ð     Số nhỏ nhất có thể là 2459.

Chú ý: Bài này đi thi làm mất 2-3 phút

Bài 6 (Thi AMS 2 – 2000)

Viết số tự nhiên nhỏ nhất có tổng các chữ số là 42

Phân tích:

Hãy ghi nhớ điều sau: Muốn số cần tìm càng nhỏ thì số chữ số phải ít nhất có thể và chữ số ở hàng càng cao thì phải càng nhỏ (ví dụ hàng nghìn càng nhỏ, hàng trăm càng nhỏ càng tốt…)

Giải

Chú ý bài này không yêu cầu các chữ số phải khác nhau.

Nhận xét: 9 + 9 + 9 + 9 < 42 => số cần tìm phải có ít nhất 5 chữ số.

Ta thấy: 6 + 9+ 9+9+9 = 42=> 69999 là số cần tìm.

Bài 7 (Thi AMS 2 – 2001)

Hãy viết số tự nhiên nhỏ nhất có 5 chữ số mà tổng các chữ số bằng 23

Phân tích:

Hãy ghi nhớ điều sau: Muốn số cần tìm càng nhỏ thì số chữ số phải ít nhất có thể và chữ số ở hàng càng cao thì phải càng nhỏ (ví dụ hàng nghìn càng nhỏ, hàng trăm càng nhỏ càng tốt…)

Ở bài này, đề bài đã yêu cầu sẵn là phải có 5 chữ số. Như vậy việc còn lại của chúng ta là chọn các chữ số sao cho số tìm được là nhỏ nhất.

Giải:

Số hàng chục nghìn nhỏ nhất là 1.

Số hàng nghìn nhỏ nhất là 0.

Khi đó ta có 10abc sao cho a+b+c= 22

Vì b + c <= 9+9 = 18 => a >= 22-18=4

Vậy số cần tìm là 10499

Bài 8: (Thi AMS 2 -2003)

Một số được viết bởi 2003 số 7, hỏi phải thêm vào số đó ít nhất là bao nhiêu để được 1 số chia hết cho 35

Giải:

Một số chia hết cho 35 thì phải chia hết cho 5 và 7.

Số viết bởi 2003 chữ 7 thì chia hết cho 7 nên khi ta thêm, số đơn vị thêm vào cũng phải chia hết cho 7 tức là 7,14,21,28,….

Mà một số chia hết cho 5 thì tận cùng là 0 hoặc 5 nên ta thử các trường hợp trên từ nhỏ đến lớn ta thấy khi thêm 28 đơn vị ta sẽ được một số tận cùng là 5, tức là chia hết cho 5.

About these ads
Leave a comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 43 other followers

%d bloggers like this: